Новые сведения о математических возможностях Claude

Полный перевод исследования Anthropic на русский. Оригинал — по ссылке.

Недавно один из сотрудников Anthropic поставил перед Claude неразумную задачу. Она касалась одной из самых известных нерешённых проблем в математике: Серьёзно взяться за гипотезу Римана.

Claude действительно серьёзно взялся за неё, но, как Вы могли ожидать, если знакомы со сложностью задачи (гипотеза Римана восходит к 1859 году, и за неё назначена награда в миллион долларов), он не добился успеха. Тем не менее во время своей попытки он неожиданно продвинулся в связанной проблеме.

Невыпущенная исследовательская версия Claude улучшила давнюю нижнюю оценку доли нулей дзета-функции Римана, которые удовлетворяют гипотезе Римана. Опираясь на обширные предыдущие исследования математиков за последние десятилетия, она увеличила эту оценку с 41,6 % до 67,2 %.

Два математика из Anthropic изучили и проверили статью Claude и подготовили неформальную заметку для экспертов, в которой кратко изложено доказательство Claude. Claude также подготовил формально проверяемое доказательство своего результата. Мы благодарны Брайану Конри и Дэну Голдстону, двум экспертам в этой области, которые великодушно изучили статью в сжатые сроки.

Мы не ожидаем, что методы, использованные Claude, приведут к доказательству гипотезы Римана. Однако его работа служит новейшим примером скорости прогресса в математических возможностях моделей ИИ. В этой публикации мы обсуждаем, как Claude подошёл к этой задаче и что он обнаружил.

Дзета-функция Римана

Дзета-функция Римана описывает распределение простых чисел: каждое место, где функция принимает значение нуля, вносит всё более тонкие детали в последовательность простых чисел. Гипотеза Римана состоит в том, что все нули, определяющие простые числа, находятся на определённой вертикальной прямой. Она стала одной из самых значимых гипотез в математике: многие результаты предполагают её истинность, чтобы обеспечить форму случайности в простых числах.

Никому пока не удалось доказать или опровергнуть гипотезу Римана, но математики добились прогресса во многих связанных направлениях, изучая дзета-функцию Римана и её нули. Одно из них, как выше, — количественная оценка минимальной доли нулей, находящихся на прямой: со временем эту известную постоянную долю постепенно увеличили до 41,6 %.

Другое направление касается распределения нулей на прямой. В частности, в 1973 году Монтгомери представил ряд новых методов в этой области, хотя эти методы предполагали, что гипотеза верна. В последнее время несколько математиков (Балуйот, Голдстон, Суриаджая и Тернейдж-Баттербо) опубликовали серию работ, которые позволяют методам Монтгомери работать без этого предположения, а это означает, что они могут поддержать работу по увеличению константы нижней оценки для нулей на прямой. Результат Клода в значительной степени опирается на это направление исследований, а также на статью Бомбьери 2000 года.

Открытие Клода

Claude обнаружил, что объединение результатов Балуйота, Голдстона, Суриаджаи и Тёрнеджа-Баттербо с работой Бомбьери даёт способ превзойти предыдущую наилучшую долю нижней оценки в 41,6 %, увеличив её до 67,2 %.

Краткое техническое объяснение открытия Claude таково: Claude формирует подходящее пространство функций с квадратичной формой, индуцированной Вейлем, и положительно- (соответственно отрицательно-) определёнными подпространствами, возникающими из нулей на прямой (соответственно вне её). Затем Claude просто записывает неравенство для ранга квадратичной формы в терминах информации о первом и втором моментах. (Успешное вычисление последнего в терминах двойственной картины по простым числам или через контроль преобразования Гильберта не является неожиданностью в аналитической теории чисел.) Смелость рассматривать всё пространство целиком, с одновременным учётом положительной и отрицательной определённости и с допущением, что квадратичная форма может быть недиагональной, в некотором смысле является тем шагом, который позволяет Claude достичь вывода на основе важной предшествующей работы.

Полное техническое объяснение доступно в статье. Объяснение Claude о том, как он пришёл к своему результату, доступно в отдельном приложении здесь.

Методология Claude

Невыпущенная исследовательская версия Claude нашла новую нижнюю границу за два сеанса в Claude Code, использовав в общей сложности 31 миллион выходных токенов.

Джарред Самнер, сотрудник Anthropic (и не математик), попросил Claude «по-настоящему попробовать взяться» за саму гипотезу, оставив дальнейшие математические решения на усмотрение модели. Сначала Claude сгенерировал и опробовал 650 идей, ни одна из которых не сработала. Джарред попросил Claude попробовать снова, и тот потратил полтора дня, координируя около 60 субагентов Claude, которые на этот раз продвинулись гораздо глубже: совместно они выполнили 2 400 команд оболочки и написали сотни скриптов на Python.1 Субагенты выполнили тысячи численных проверок по известным нулям дзета-функции и рецензировали работу друг друга. На протяжении всего этого процесса вклад Джарреда в основном ограничивался отправкой Claude ободряющих сообщений (в основном вариантов «продолжайте» или «верьте в себя»).2 Похоже, это помогло Claude преодолеть некоторый первоначальный скептицизм относительно того, что он сможет добиться значимого прогресса.

Обнаружив этот новый результат при выполнении задачи, Claude проверил свою работу: поручил различным субагентам проверить доказательства, поискать контрпримеры, загрузить 54 статьи с arXiv, чтобы убедиться, что его находка не была уже сделана ранее, и независимо заново доказать его результат с нуля. Claude сам предложил оформить свои выводы в виде статьи и рекомендовал, чтобы математик, специализирующийся на теории чисел, подтвердил его результаты.

Левент Алпёге и Ральф Фурман, два математика из самой Anthropic, изучили работу Claude, чтобы понять новые результаты и то, как они соотносятся с предшествующей работой, упомянутой выше. Параллельно Claude работал с другим сотрудником, Эриком Исли, над созданием формализации в Lean результата, которая проходит проверку стандартным инструментом валидации comparator.

Прогресс моделей искусственного интеллекта в математике

Этот результат показывает, что модели искусственного интеллекта, такие как Claude, могут расширять влияние и охват идей математиков новыми и порой неожиданными способами. Хотя она не смогла решить саму гипотезу Римана, этот результат возник как непреднамеренный побочный продукт исходного запроса.

Даже Claude была удивлена собственным открытием — сначала она отнеслась к нему скептически, возможно, потому что из обучающих данных узнала о сложности открытых задач в математике и об ограничениях моделей искусственного интеллекта. Но после нескольких ободряющих подсказок она пришла к результату, который мы описали. Возможно, Claude, как и многие из нас, недооценивает темпы прогресса искусственного интеллекта.

Дополнительное чтение

Ниже приведен список документов, которые содержат больше информации о результате Claude:

• Статья Claude;
• формализация Claude;
• неофициальная заметка Anthropic, излагающая доказательство более кратко;
• объяснение Claude того, как он пришёл к своему результату;
• подробные расшифровки процесса Claude.